9.4.2. Функціональне рівняння
де квадратні матриці розміром n на n
X - фундаментальна матриця рішень диференціального рівняння (24);
В - матриця, що характеризує взаємопов'язані межі зростання;
D1, D2 - матриці, визначають структурні особливості обмеженого зростання;
Рішенням функціонального рівняння (25) є наступні матричні функції часу:
Запишемо рішення диференціального рівняння зростання в наступному вигляді:
де матриця Х (t) визначається співвідношеннями (26) або (27). Диференціюючи за часом векторну функцію (28) після відповідної підстановки в (24) і очевидних перетворень неважко отримати явний вираз для матриці F (t).
Якщо взаємодія відсутня, то всі розглянуті матриці матриць А, В, D1, D2 стають діагональними і ВФР (26) складається з п функцій виду (6). Взаємний вплив між складовими різних підсистем враховується елементами матриці А, В, що лежать поза головної діагоналі. Елемент матриці [аij] визначає вплив, який чиниться j-ой підсистеми на темпи зростання i-й підсистеми. Матриця фундаментальних рішень при t = 0 є одиничною. Звідси випливає, що векторна функція росту може бути записана таким чином:
де як ВФР x (t) може виступати і вектор FV, а x0 відповідає вектору PV.
Для багатьох додатків спектр власних значень матриці темпів зростання А (або відповідно (R + I)) є простим і складається з позитивних чисел. Тоді фінальне значення ВФР
і, отже, явно не залежить від елементів матриці А.