2.6.2.7 ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ АКТИВАМИ
Описані вище методики, реалізовані в середовищі електронних таблиць Excel 7.0, в основному відповідають даним вимогам. Безпосередньо витрачається на розрахунки машинний час не перевищує десятків секунд, а основна частина часу витрачається на діалог з користувачем. Для розрахунків використовувався реальний баланс банку, при цьому сума вільних коштів S = 12 750 тис. р.., А в якості можливих напрямків вкладень вільних коштів розглядалися:
x1 - міжбанківські кредити на термін від 31 до 90 днів (dj = 25% річних);
x2 - кредитування недержавних комерційних підприємств і організацій на строк від 31 до 90 днів (d2 = 33% річних);
x3 - кредитування недержавних комерційних підприємств і організацій на строк від 91 до 180 днів (d3 = 36% річних);
x4 - розміщення коштів на кореспондентському рахунку в банку-кореспонденті (d4 = 15% річних) .
Крім того, виходячи з реальних заявок на кредити, на параметри вектора x були накладені обмеження:
xj <2000 тис. р..; X2 <7000 тис. р. .; x3 <1400 тис. р..
Рішення задач (38 - 41) при r = 8,7% дало наступні результати:
max m (x) = 84,8%. (75)
При цьому
x01 = 0; x02 = 0;
x03 = 1373; H1 = 56%; H4 = 1,5%.
MaxН3 (x) = 78,7%; (76)
x
x01 = 0;
x02 = 0; x03 = 0; H1 = 54%; H4 = 1,5%.
MaxН5 (x) = 48,37%; (77)
x
x01 = 0;
x02 = 0; x03 = 0; H1 = 54%; H4 = 1,5%.
Це підтверджує той факт, що критерії Н3 і Н5 досягають максимуму в одній і тій же точці. Завдання оптимізації нормативу Н4 не ставилася, оскільки, для невеликого банку в сучасних економічних умовах завдання управління довгостроковими кредитами не є актуальною через дуже високого рівня ризиків. Вирішимо задачу максімізіціі критерію Кромонова N (40) при тих же обмеженнях:
max N (x) = 76,9%; (78)
x01 = 0;
x02 = 0; x03 = 0.
Завдання максимізації рентабельності R3 при тих же обмеженнях (41):
maxR3 (x) = 12,3%; (79)
x
x01 = 0;
x02 = 391; x03 = 1400; x04 = 6471.
Як було зазначено вище, головна мета, що стоїть перед банком - максимізація прибутковості при одночасній максимізації надійності (мінімізації ризику). Як показник прибутковості використовується рентабельність активів Л3 (х), а в якості інтегрального показника надійності - узагальнений критерій Кромонова N (х) - завдання (48).
(80)
У випадку, коли перед банком стоїть завдання підвищення ліквідності, можлива постановка відповідної оптимізаційної задачі (46). Безліч Парето будується аналогічно попередньому випадку. Спочатку ми максимізували критерії H2 (X) і H3 (X) окремо без додаткових обмежень на значення іншого критерію (очевидно, з дотриманням обмежень, встановлених в інструкції Банку Росії на дані показники 20% і 70% відповідно - див загальний список обмежень, використовуваних при всіх завданнях оптимізації). Однак очевидно, що без накладення додаткового обмеження на величину рентабельності комп'ютер максимізує ліквідність, зосередивши всі вільні кошти на які не приносять доходів, але абсолютно ліквідному коррахунку в Банку Росії. Тому необхідно накласти додаткове обмеження на рентабельність, припустимо, R3> 8%.
Хоча оптимізація ліквідності сама по собі є важливим завданням для банку, однак без урахування досягається при цьому рентабельності вона не має великого практичного значення. Необхідно рішення оптимізаційної задачі за трьома критеріями: R3, H2, H3. Для вирішення даної задачі також застосовується метод академіка Мойсеєва. Фіксуються на різних рівнях критерії H2, H3 і максимизируется критерій R3. Отримуємо ряд точок у тривимірному просторі. Для візуалізації множини Парето в тривимірному просторі використовуються можливості програми Matlab [16]. На першому етапі проводиться інтерполяція на нерівномірній сітці (функція griddata, метод cubic - кубічна інтерполяція на основі тріангуляції Делоне). На другому етапі будується графік з використанням функції mesh - тривимірна сітчаста поверхню (рис. 10).
Даний графік дозволяє експерту вибрати будь-яку оптимальну, на його думку, крапку в просторі критеріїв. Припустимо, обрана точка з координатами R3 = 12,1; H2 = 21%; H3 = 72%.
Необхідно знайти відповідну даному критеріальному вектору точку в просторі рішень. Для цього необхідно вирішити таку завдання оптимізації:
max R3 (x) при обмеженнях: H2> 21%, H3> 72%.
Х
Отримуємо вихідний критерійний вектор (R3 = 12,1; H2 = 21; H3 = 72) при наступному розподілі
коштів по рахунках:
Х01 = 0;
Х02 = 0; x03 = 1400; x04 = 6726.
Рис. 10 Безліч Парето за трьома критерієм: Н2, Н3, Я 3 У разі необхідності прийняття рішення за багатьма критеріями побудова безлічі Парето в графічному вигляді ускладнене або неможливе, тому слід застосовувати різні види згорток. Як було показано вище (гл. 2.3.3) найбільш прийнятним видом згортки є Максиміна згортка Машуніна. Застосуємо дану згортку при вирішенні задачі оптимізації за 4 критеріями: Я3, Н2, Н3, N (де ХЯ3, ХН2, ХН3, XN - відносні рівні по
(84)
відповідними критеріями (тобто нормалізовані критерії):
X0 = max min (XR3 (x), XH2 (x), XH3 (x), XN (x)),
виходить рішення:
X0 = 0,48.
Даний показник показує, що в даній точці всі критерії досягають як мінімум 48% від своїх максимально можливих значень.
В даній точці окремі критерії приймають наступні значення:
R3 = 9,85% (відносна оцінка 0,48);
X = 55,3 (0,48);
H2 = 59,55 (+0,53);
H3 = 74,12 (0,58).
При наступному розподілі активів за рахунками:
* 0i = 0;
* 02 = 0; Х03 = 1296; Х04 = 4505.
Дана точка показує орієнтовне компромісне рішення, в якому всі критерії мають досить високі значення. На основі значення цієї компромісної точки один з критеріїв, чиє значення найбільш далеко від критичного, можна з певною поступкою перевести в розряд обмежень, а по іншим трьом критеріям побудувати безліч Парето для подальшого аналізу. Даний метод придатний насамперед для попереднього відбору критеріїв, чиї середні значення найбільш близькі до критичних, і переведення менш критичних критеріїв у розряд обмежень.
Для дослідження можливостей компромісу між критеріями при наявності великої кількості критеріїв можна використовувати й інші методи. Так, для визначення точки в області допустимих значень, чий критерійний вектор найбільш близький до недосяжного вектору, в якому всі критерії приймають максимально можливі значення, можливе застосування згортки за методом найменших квадратів.
2
z ^ Y
fr, *
H3 - H3 (x)
"H?
R3-кз (Х) R *
N - N (x)
N *
min F0 =
. (85)
+
+
min F = 0,76 при наступних значеннях критеріїв:
R3 = 8,75% (відносна оцінка 0,24); N = 63,58 (+0,68); H2 = 73,84% (+0,73); H3 = 77,5% (0,86).
У нашому прикладі один з найважливіших, якщо не найважливіший для банку критерій - рентабельність - досягає лише 24% від максимально можливого. Зважаючи на те, що при використанні даної згортки хороше значення зведеного критерію може бути досягнуто при низькому значенні окремих критеріїв, дану згортку логічно застосовувати в ситуації, коли критерії певною мірою взаємозамінні і далекі від своїх критичних значень.
У випадку, коли експерт має кількісну оцінку у вигляді терезів відносної важливості критеріїв, може бути застосована наступна мультиплікативна згортка чотирьох нормалізованих критеріїв - рентабельності R3 (Х), зведеного індексу надійності Кромонова N (x), коефіцієнта поточної ліквідності H3 (x) і коефіцієнта миттєвої ліквідності H2 (x) з вагами, відповідно, PR3 = 1,2; pN = 1; РН3 = 0,8; РН2 = 0,7:
F0 = (R3 (X)) u + (N (X)) 1 + (H2 (X)) ° '7 + (H3 (X)) ° '8; (86) max F0 = 0,099.
Дана величина не несе ніякого фізичного сенсу, а просто показує одну точку - претендента на оптимальне рішення, в якій значення окремих критеріїв склали: R3 = 9,1% (0,31 - відносна оцінка), N = 58,06
(0,54), H2 = 64,4% (0,6), H3 = 78,67% (+0,59). Змістовна інтерпретація даної величини утруднена в порівнянні з вищеописаними згортками.
У разі великого числа ранжируваних за важливістю критеріїв може використовуватися метод послідовних поступок.
Наприклад, розташуємо за значимістю наші критерії наступним чином: найбільш важливим є R3 - рентабельність, потім N - зведений рейтинг надійності Кромонова, далі H2 - норматив миттєвої ліквідності, H3 - норматив поточної ліквідності. максимізуючи перший критерій:
max R3 (x) = 12,34%.
x
Припустимо, що банк вважає можливою поступку за даним критерієм 2,34%, тобто необхідне значення за даним критерієм не менше 10%. Формулюється додаткове обмеження R3> 10% і при цьому обмеженні максимизируется другий за значимістю критерій - узагальнений індекс надійності Кромонова:
max N (x) = 57,65%.
x
Банк погоджується на поступку за цим критерієм у розмірі 17,65 і формулює додаткове обмеження: N> 40. При двох додаткових обмеженнях максимизируется третій критерій:
maxH2 (x) = 63,75%.
За цим критерієм допускається поступка в 33,75% і додається обмеження H2> 30%. При всіх додаткових обмеженнях максимизируется наступний за значимістю критерій H3 - норматив поточної ліквідності:
maxH3 (x) = 78,67%.
x
Таким чином, отримана компромісна (не обов'язково Парето-оптимальна) точка з наступними параметрами критериального вектора: R3 = 10%, N = 40, H2 = 30%, H3 = 78,67%.
У даній точці використовується наступний розподіл активів:
x01 = 0; x02 = 0;
x03 = 1287; x04 = 3505.
Даний метод найбільш ефективний, коли у експерта є чіткі уявлення про значущість критеріїв і їх допустимих величинах.