4.2. Фінансові обчислення як основа інструментарію фінансового менеджера
будь-яке рішення фінансового характеру (тобто фінансова операція) має грунтуватися на принципі економічної доцільності;
одним з акцентованих виразів згаданої доцільності є отримання доходу від здійснення фінансової операції;
наслідком невикористання (бездіяльності) будь-якого ресурсу (в тому числі і грошових коштів) є прямий або непрямий збиток (втрата);
в додатку до грошових коштів непрямий збиток (втрата) проявляється: а) у неотриманні доходу, який міг би бути згенерований, якби ці кошти були пущені в оборот, б) в знеціненні грошових коштів (т. е. купівельна спроможність грошової одиниці в умовах інфляції, яка, як правило, завжди супроводжує економічному розвитку, з часом знижується);
таким чином, грошові кошти не повинні сидіти склавши руки, а доцільність типовий фінансової операції повинна визначатися виходячи з критерію ефективності з урахуванням фактору часу.
У загальній сукупності дій з управління фірмою, що виконуються різними представниками менеджерського корпусу, роль фінансового менеджера (аналітика) в технологічному аспекті зводиться, по-перше, до фінансово-аналітичному обгрунтуванню доцільності тих чи інших господарських операцій та , по-друге, до підготовки і здійснення фінансових операцій. Зрозуміло, що сукупність господарських операцій набагато ширше, ніж сукупність фінансових операцій: перші мають відношення до будь-яких аспектів діяльності фірми, тоді як другі стосуються лише фінансових активів і зобов'язань. Техніка фінансових обчислень застосовна в обох випадках, а можливість її практичного застосування обгрунтовується наступними твердженнями:
як і будь-які ресурси підприємства, грошові кошти повинні ефективно використовуватися, тобто з плином часу приносити певний прямий або непрямий дохід;
практично будь-яку фінансово-господарську операцію можна виразити в термінах фінансів (грошових коштів);
в переважній більшості випадків власне операції або їх наслідки розтягнуті у часі;
з кожною операцією можна пов'язати деякий фактичний або умовний грошовий потік;
елементи грошового потоку, що відносяться до різних моментів часу, без певних перетворень не співставні;
перетворення елементів грошового потоку в порівнянний вид здійснюються шляхом застосування операцій нарощення і дисконтування;
нарощування і дисконтування можуть виконуватися за різними схемами і з різними параметрами.
Як уже згадувалося, в основі фінансових обчислень - поняття тимчасової цінності грошей, що може бути виражено простий сентенцією: рубль «сьогодні * більш цінний, ніж той же самий рубль, але« завтра ». Між рублем «сьогодні» і рублем «завтра» є суттєва відмінність: перший знаходиться в розпорядженні особи, їм володіє, а тому цей рубль може використовуватися ним в цілях споживання; другий лише очікується, причому не виключено, що в силу ряду причин рубль «завтра »так і не буде отриманий. Саме цією обставиною почасти й зумовлюється розходження в цінності цих рублів. Однак ризиковість - не єдина причина. Друга причина - плата за відмову від споживання. Якщо власник рубля «сьогодні» відмовляється від його використання з метою споживання (наприклад, віддає його в борг), то він має право очікувати, що ця відмова буде заохочений поверненню не того ж самого рубля, а рубля з деякою добавкою. Таким чином, дійсно за певних обставин час може приносити дохід.
Різниця між рублем «сьогодні» і рублем «завтра» поширюється і на довільні суми, що відносяться до різних моментів часу. А саме: грошовим сумам 50 і 5Ь належать відповідно до моментів часу («сьогодні») і («завтра»), властива тимчасова неспівмірність - зокрема, якщо аналітиком приймається до уваги цілком природна передумова про тимчасову цінності грошових коштів, то безпосереднє підсумовування величин 5о і неприпустимо.
Нарощення і дисконтування. У фінансових розрахунках тимчасова неспівмірність і плата за відмову від споживання враховуються за допомогою операцій нарощення і дисконтування. Операція нарощення здійснює перехід від «сьогодні» до «завтра» (тобто 50 приводиться до виду, порівнянної з операція дисконтування - навпаки (тобто 51 приводиться до виду, порівнянної з 50). Цей перехід здійснюється за допомогою деякої процентної ставки г:
Звідси видно, що після закінчення операції повертається не тільки відкладена для цілей споживання сума 50, але і якась добавка. Оскільки 50 - г> 0, видно, що час генерує гроші або, що рівнозначно, гроші мають тимчасову цінність. Звідси ж випливає, що ставка г характеризує величину тимчасової цінності: чим більше значення ставки, тим більше нарощення. Ставка г як би зрівнює величини 50 і ^ 50: власникові суми 50 байдуже, чи мати 50 «сьогодні» або віддати її в тимчасове користування і отримати ^ 50 «завтра»; ці суми для нього однакові за своєю цінністю. Оскільки нарощування і дисконтування взаімообратних, нескладно побудувати подібну ланцюжок міркувань і для дисконтування.
За допомогою (4.1) можна дати наочну інтерпретацію ставки р. Для цього перепишемо (4.1) наступним чином:
Звідси видно, що ставка г являє собою відношення приросту від фінансової операції (тобто отриманого ефекту) до початкової величини вихідного капіталу; це показник ефективності операції - її прибутковість.
Таким чином, у типовій операції нарощення (або дисконтування) присутній чотири величини, три з яких задані, а четверта ними визначається виходячи з застосовуваної схеми нарахування відсотків. Так, у разі нарощення до заданих величинам відносяться: сума РУ (сума «сьогодні»), процентна ставка г і кількість базисних інтервалів п \ сума № (сума «завтра») буде розраховуватися за деякому алгоритму нарощення. У разі дисконтування до заданих величинам відносяться: сума / V (сума «завтра», тобто величина, очікувана до одержання), процентна ставка г і кількість базисних інтервалів п; сума РУ (сума «сьогодні», т . е. вартісна оцінка очікуваної величини ^ У) буде розраховуватися за певним алгоритмом Дискон тирования. Зауважимо, що в якості обумовленою може виступати будь-яка з чотирьох згаданих величин. Схематично операції нарощення і дисконтування представлені на рис. 4.1. Зробимо декілька зауважень до малюнка.
Рис. 4.1. Ілюстрація операцій нарощення і дисконтування
По-перше, як показано на рис. 4.1, тимчасові моменти, в яких перебувають відповідно менеджер (аналітик), сума PV і сума FV, не збігаються. У більшості практичних завдань найчастіше аналітик і сума PV знаходяться в одній точці тимчасової осі - точці 0. По-дру-яких, нарощення (дисконтування) може виконуватися з використанням ням різних схем нарахування відсотків, що позначається на значе-ванні залежною (обумовленої) величини. По-третє, можливо варьі-вання не тільки схемами нарахування, а й іншими параметрами (на-приклад, ставкою г). По-четверте, хоча PV і FV при г> 0 різняться за величиною, для аналітика вони рівні (точніше, рівнозначні) за своєю цінністю.
Доречно зауважити, що ідея нарощення і дисконтування має давню історію. Таблиці складних відсотків були вперше розроблені і опубліковані математиками Я. Тренчені (Jan Trenchant) і С. Стевіном (Simon Stevin, 1548-1620) відповідно в 1558 і 1582 роках, причому саме Стевін якраз і висловив ідею про можливість використання чистої дисконтованої вартості для оцінки фінансових інвестицій [The History of Accounting, p. 208] . Однак лише наприкінці XIX в. ця ідея отримала активний розвиток в роботах економістів. Так, в 1887 р. американський інженер А. Веллінгтон (A. Wellington) опублікував роботу «Економічна теорія розміщення залізниць», в якій запропонував підхід до обгрунтування доцільності будівництва нової дороги на основі зіставлення дисконтованих значень прогнозних припливів і відтоків грошових коштів. У 1891 р. англійський бухгалтер Ф. Mop (Francis More) вперше запропонував оцінювати гудвіл виходячи з генеруються їм додаткових доходів [Каш, р. 401-403]. Ідея дисконтування активно ис користувалася А. Маршаллом (Alfred Marshall, 1842-1924) та І. Фішером (Irving Fisher, 1867-1947) при викладі логіки і техніки бюд-жетірованія капіталовкладень і оцінки інвестиційних альтернатив.
Процентні ставки і схеми нарахування. Надаючи свої грошові кошти в борг, їх власник отримує певний дохід у вигляді відсотків, що нараховуються по деякому алгоритму протягом певного проміжку часу. Оскільки стандартним тимчасовим інтервалом у фінансових операціях є один рік, найбільш поширений варіант, коли процентна ставка встановлюється у вигляді річної ставки, що припускає одноразове нарахування відсотків після закінчення року після отримання позики. Відомі дві основні схеми дискретного нарахування: схема простих і схема складних відсотків.
Схема простих відсотків припускає незмінність бази, з якої відбувається нарахування . Нехай вихідний інвестується капітал дорівнює Р] необхідна прибутковість - г (у долях одиниці). Вважається, що інвестиція зроблена на умовах простого відсотка, якщо інвестований капітал щорічно збільшується на величину Р - р. Таким чином, розмір інвестованого капіталу через п років (Rn) буде дорівнює:
(4.4)
Нескладно показати, що у разі щорічного нарахування відсотків для особи, що надає кредит:
вигіднішою є схема простих відсотків, якщо термін кредиту менше одного року (відсотки нараховуються одноразово в кінці періоду);
більш вигідною є схема складних відсотків, якщо термін кредиту перевищує один рік (відсотки нараховуються щорічно);
обидві схеми дають однакові результати при тривалості періоду один рік і одноразовому нарахуванні відсотків.
Схема простих відсотків використовується в практиці банківських розрахунків при нарахуванні відсотків по короткострокових кредитах (термін погашення до одного року). В цьому випадку в якості показника п у формулі (4.3) береться величина, що характеризує питому вагу довжини підперіоди (дні, місяць, квартал, півріччя) у загальному періоді (рік).
Використання в розрахунках складного відсотка у випадку багаторазового його нарахування більш логічно, оскільки в цьому випадку капітал, що генерує доходи, постійно зростає. При застосуванні простого відсотка доходи в міру їх нарахування доцільно знімати для споживання або використання в інших інвестиційних проектах або поточної діяльності.
Формула складних відсотків є однією з базових формул у фінансових обчисленнях, тому для зручності користування значення множника (1 + г) я, званого мультіпліцірующім множником для одиничного платежу і забезпечує нарощення вартості, табульовані для різних значень р і п (цю та інші фінансові таблиці, що згадуються в книзі, можна знайти в додатку 3). Тоді формула алгоритму нарощення за схемою складних відсотків переписується наступним чином:
Економічний сенс такого подання полягає в наступному: прогнозована величина грошових надходжень через п років (FVn) з позиції «сьогодні» (наприклад, поточного моменту) буде менше і дорівнює Р (оскільки знаменник дробу більше одиниці). Це означа ет також, що для інвестора сума Р в даний момент часу і сума Л ^ через п років однакові за своєю цінністю. Використовуючи цю формулу, можна приводити в порівнянний вид оцінку доходів від інвестицій, очікуваних до вступу протягом ряду років.
Значення множника FA ^ 2 (r, n) також табульовані, а його економічний зміст полягає в наступному: він показує «сьогоднішню» цінність однієї грошової одиниці майбутнього, тобто чому з позиції «сьогодні» дорівнює одна грошова одиниця (наприклад, один рубль), що циркулює в сфері бізнесу п періодів потому від «сьогодні», при заданих процентній ставці (прибутковості) г і частоті нарахування відсотка: Нагадаємо ще раз, що дисконтування може бути виконано на будь-який момент часу, не обов'язково збігається з поточним моментом (см . рис. 4.1).
У практиці фінансових і комерційних розрахунків нерідко обумовлюються величина річного відсотка та частота нарахування, відмінна від щорічною. У цьому випадку розрахунок ведеться за формулою складних відсотків по подинтервалам та за ставкою, що дорівнює пропорційної частці ис-Ходна річної ставки, за формулою
Оскільки / <1, то (1 + / - г)> (1 + г /, отже, нарощена сума буде більше при використанні змішаної схеми.
У фінансових контрактах можуть передбачатися різні схеми нарахування відсотків. При цьому, як правило, обмовляється номі-нальна процентна ставка, зазвичай річна. Ця ставка, по-перше, не відображає реальної ефективності угоди і, по-друге, не може бути використана для зіставлень. Для того щоб забезпечити порівняй-вальний аналіз ефективності таких контрактів, необхідно вибрати якийсь показник, який був би універсальним для будь-якої схеми нарахування. Таким показником є ефективна річна процентної ставка ге, що забезпечує перехід від Р до при заданих значеннях цих показників і одноразовому нарахуванні відсотків і рас-прочитується за формулою
Рис. 4.2. Графічне представлення потоків постнумерандо і пренумерандо
Оцінка грошового потоку може виконуватися в рамках вирішення двох завдань: а) прямий, тобто проводиться оцінка з позиції майбутнього (реалізується схема нарощення), б) зворотного, тобто проводиться оцінка з позиції сьогодення (реалізується схема дисконтування).
Пряма завдання передбачає сумарну оцінку нарощеного грошового потоку: до кожного елементу потоку застосовується формула (4.5). Тому майбутня вартість вихідного грошового потоку постнумерандо РУрз (розраховується за формулою
Нескладно показати, що для потоків пренумерандо формули (4.11) і (4.12) трансформуються таким чином:
Економічний сенс РМЗ (г, п), званого мультіпліцірующім множником для ануїтету, полягає в наступному: він показує, чому дорівнює сумарна величина термінового ануїтету в одну грошову одиницю (наприклад, один рубль) до кінця терміну його дії. Значення множника залежать лише від відсоткової ставки (г) та терміну дії ануїтету (п), причому із збільшенням кожного з цих параметрів величина РМЗ (г, п) зростає. Значення множника для різних сполучень г і п можна табулювати.
Для вирішення зворотного завдання оцінки термінових ануїтетів постнумерандо і пренумерандо, що є основною при аналізі інвестиційних проектів, грошові притоки яких мають вигляд аннуїтетних надходжень, можна скористатися формулами (4.18) і (4.19)
Економічний сенс? М \ (гуп), званого дисконтує множником для ануїтету, полягає в наступному: він показує, чому дорівнює з позиції поточного моменту величина ануїтету з регуляр-ними грошовими надходженнями в розмірі однієї грошової одиниці (наприклад, один рубль), триваючого п рівних періодів із заданою процентною ставкою р. Значення цього множника також табулірует-вани.
При виконанні деяких розрахунків використовується техніка оцінки безстрокового ануїтету. Ануїтет називається безстроковим, якщо грошові надходження тривають досить тривалий час (у західній практиці до безстрокових відносяться ануїтети, розраховані на 50 і більше років). У цьому випадку пряма задача сенсу не має. Що стосується зворотного завдання, то її рішення для ануїтетів постнумерандо і пренумерандо робиться на основі формул
Звідси видно, що значення ставки може варіювати навіть у одного інвестора - якщо, на його думку, два оцінюваних активу розрізняються ризиковістю, значення ставки г, використовувані для їх оцінки, будуть різними.
Закінчуючи розділ, зазначимо, що найбільш повну та систематизовану зведення формул і методів прикладної фінансової математики, а також приклади їх використання можна знайти в роботі: [Уланов].
У додатку 2 наведено набір формул розрахунку базових показників фінансової математики.